[/math], となります。[math]I_k[/math]は[math]k[/math]が奇数の時に値を持つので, [math] 階乗と\(e^{x}\)(Γ関数について) \(e^{x}よりもx!\)が発散速度は速いです。 階乗が自然数n!の時ならば、二項定理を用いて証明できるのですがx!(xが飛び飛びの値ではなく連続している場合)は高校範囲を超 … 階乗 の ... しかしこの公式は収束が遅く、実用的な意味でパイ函数やガンマ函数の値を計算することに利用することはできない。 I_k = \begin{cases} $\dfrac{\pi^2}{(2n+1)^2}\cdot\dfrac{1}{\tan^2\theta_k}\leq \dfrac{1}{k^2}\leq \dfrac{\pi^2}{(2n+1)^2}\left(1+\dfrac{1}{\tan^2\theta_k}\right)$ 身に覚えが無いのでその時は詐欺メールという考えがなく、そのURLを開いてしまいました。 バーゼル問題(Basel problem)は平方数の逆数のすべての和がいくつになるか?という問題でオイラーによる驚愕の解が提示されるまで100年近く未解決だった難問です。ここでは、近年発表されたシンプルな解法をベースに高校数学の範囲でバーゼル問題を解きます。 &=& \dfrac{1}{2}\int_0^{\pi/2} \dfrac{x}{\sin x}\cdot \sin(2n+1)x dx \\ 2:$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$(ド・モアブル) < 1+\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}+\cdots +\dfrac{1}{(n-1)n}\\ この $z’$の虚部は $\dfrac{1}{\tan^2\theta_k}$ の $n$ 次多項式とみなせる! 【D】6色. 答え分かる方いませんか。健康のため自転車で通勤している太郎さんは、ある日、時速20kmで自宅から会社に向かっていると、自宅と会社のちょうど真ん中の地点で自転車がパンクしてしまった。そこで、残りの道のりを時速4kmで歩いたところ、会社に着いたのは自宅を出てから36分後だった。太郎さんの自宅と会社の距離は何km... 答え教えてください 花子さんは健康のため、毎日1枚食べているピザのサイズをLサイズからMサイズにすることにした。ピザの直径はLサイズが36cm、Mサイズが24cmである。花子さんが1日に食べるピザの量は、何%になるだろうか。もっとも近いものを次のうちから1つ選べ。ただし、ピザは完全な円で、厚みは変わらないもの... 今日(2020/11/01)行われた北辰テストについての質問です。関数の問題で、三角形 ABC(ABCというのはてきとーです)=Sのようにおいたのですが、S を使わずに説明してました。この場合、減点されるのでしょうか?(答えは4√2であっています), さっきアメリカが国家非常事態宣言を出したそうです。ネットで「これはやばい」というコメントを見たのですが、具体的に何がどうやばいんですか?. これは,1990年東工大後期第二問と本質的に同じ問題になります。(東工大の入試問題では誘導がついていました。), $\sin(2n+1)\theta_k=0$ より, $f\left(\dfrac{1}{\tan^2\theta_k}\right)=0$ である。, すなわち $n$ 次方程式 $f(x)=0$ の解が $n$ 個全て構成できたので解と係数の関係より, \begin{eqnarray} &\leq& \int_0^{\pi/2}g(x) dx \\ &=& \int_0^{\pi/2}\dfrac{x}{2}dx+\sum_{k=1}^n I_k \\ [/math], になることが分かりました。「平方数の逆数の和」を「偶数の平方数の逆数の和」と「奇数の平方数の逆数の和」に分けて書くと, [math] && E_n \\ [math] \begin{eqnarray} }\cdots +\frac{x^{n}}{n!}+\frac{x^{k+1}}{(k+1)! }+\cdots +\frac{x^{n}}{n! 数学 数学-大学数学. &&\dfrac{\sin x}{x} \\ 変な質問でごめんなさい。2年前に結婚した夫婦です。それまで旦那は「専門学校卒だよー」って言ってました。 \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6} E_n&=&\int_0^{\pi/2}xf_n(x)dx \\ Σ[k=0→∞]1/k!=eというのは有名な事実ですが、これはマクローリン展開の式を用いれば簡単に示すことができます。, 知恵袋の質問に、では Σ[k=0→n]1/k! [/math], [math] 私はそれを聞いて最初は嬉しかったけど、だんだん不安になってきました。 \end{eqnarray} ============================= ランキングに参加しています. =1+\left(1-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+\cdots +\left(\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\right)\\ g(x)&=&\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{x}{\sin x}\right) \\ \end{eqnarray} 階乗の逆数和. 実際,二項定理を用いて計算すると, 6. \end{cases} [/math], を導きました。小学生でも知っている「平方数」の逆数を足しあげると突如、円周率が登場するという驚きの結果です。, オイラーによる解決後もよりシンプルな証明が発表されており「高校数学の美しい物語」さんが「バーゼル問題の初等的な証明」で紹介しているように大学入試問題のテーマになることもあります。ただ「思ったより長く険しい証明になってしまいました。」とコメントされている通り高校生にとっては難度の高い証明だと思います。, ここでは2015年に発表された論文”A One-Sentence and Truly Elementary Proof of the Basel Problem“の内容をベースとした解法を紹介します。なお、論文では, キーアイディアは[math]k \in \mathbb{N}[/math]に対して, [math] }{x^{n+1}}$$, \(x^{n}\)が残るように\(x^{n+1}をx\cdot x^{n}\)に分けることにより, $$0<\frac{x^{n}}{e^{x}}<\frac{(n+1)! &=& \dfrac{\pi^2}{16}+\sum_{k=1}^n I_k 数学 . 使う道具は以下の3つです:, 1:$0\leq x\leq \dfrac{\pi}{2}$ において $\sin x \leq x \leq \tan x$(有名不等式) や Σ[n=0,∞]1/n!!! [/math], [math] スマホで学ぶサイト、 スマナビング! All Rights Reserved. 参考:【非公認】東京工業大学模試研究会. n \geq N \Rightarrow |a_n-\alpha|<\displaystyle \frac{\epsilon}{2}.$$∴$$m,n \geq N \Rightarrow |a_m-a_n|=|(a_m-\alpha)-(a_n-\alpha)|$$$$\leq |a_m-\alpha|+|a_n-\alpha|(∵三角不等式)$$$$<\displaystyle \frac{\epsilon}{2}+\displaystyle \frac{\epsilon}{2}=\epsilon.$$, \(\epsilon = 1\)として,$$\exists N s.t. 開いた後は発送状況を確認できるサイトに移動することは無く、ポップアッ... 結婚したことを後悔しています。私と結婚した理由を旦那に聞いてみました。そしたら旦那が「顔がタイプだった。スタイルもドンピシャだった。あと性格も好み。」との事です。 |E_n| \leq \dfrac{C}{2(2n+1)} [/math], [math] \begin{eqnarray} 旦那が東大卒なのを隠してました。 [/math], と「奇数の平方数の逆数」と「三角関数」を結びつけることができます。ここから三角関数の性質を巧妙に使い「奇数の平方数の逆数の和」を求め、そこから「平方数の逆数の和」を求めます。, まず[math]I_k[/math]を求めます。部分積分をして[math]\cos(k\pi)=(-1)^k[/math]と書けることに注意して, [math] $\zeta(4)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^4}=\dfrac{\pi^4}{90}$ [/math], となることが分かります。これより[math]n\to\infty[/math]の時に[math]E_{2n-1}\to 0[/math]を示せれば「奇数の平方数の逆数の和」が[math]\dfrac{\pi^2}{8}[/math]になることがわかります。, [math]E_n[/math]の収束を示す前にコサインの和である[math]f_n(x)[/math]をよりシンプルな形に変形します。三角関数の加法定理から, [math] 結果として,収束値は,$$1+\displaystyle \frac{1}{2^2}+\cdots +\displaystyle \frac{1}{n^2} \cdots = \displaystyle \frac{\pi^2}{6}$$です. 階乗の逆数の和の値の極限はどうなるのですか? ちょっと、とある公式を導くために二項係数を含む級数をあれこれ考えてたんですが、どうも導き方がよく分からなかったので、階乗や二項係数を含む級数の公式を片っ端から導いてみます。 公式は『級数・フーリエ解析 (岩波 数学公式 2)』に載ってるもの。 $\sin \theta_k \leq \theta_k\leq \tan \theta_k$ を得る。 \end{eqnarray} 例:次の数列は収束するか?$$a_n = 1+\displaystyle \frac{1}{2^2}+\cdots +\displaystyle \frac{1}{n^2}$$ 試行してみます. }$$・・・(1)より、, $$ e^{x}>1+\frac{x}{1! &=&1-\dfrac{x^2}{3!}+\dfrac{x^5}{5! &=&\dfrac{\sin x – x\cos x}{\sin^2 x} \\ }\}$$・・・(2)として、この式が常に正ならば(1)が示せます。, x>0のとき\(g‘_{1}(x)>0\)なので(3)は単調増加。x=0で(3)は=0。, よって、n=1のとき\(g_{1}(x)= e^{x}-(1+x)\)はx>0で常に正。, $$ e^{x}>1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2! [/math], [math]\sin(2n+1)x=\frac{d}{dx}(-\frac{1}{2n+1}\cos(2n+1)x)[/math]とみて[math]E_n[/math]を部分積分して, [math] }+\cdots +\frac{x^{k}}{k! 現在は数学に関わる仕事を求めてIT企業に勤務. &=&\left[\dfrac{x}{\sin x}\right]_{0}^{\pi/2} \\ 先日、息子が彼女にプロポーズして、相手両親に挨拶に行きました。彼女は一人娘で、彼女の父親から、氏名だけでも彼女の姓を名乗ってもらえないかと言われたと息子より相談の連絡がありました。まだしっかりと話はしていないので、息子の考えや彼女の考えもわかりませんが、いずれこのような相談があるだろうと私自身前... 光る鳥、もしくは鳥が光って見える現象ってありますか?先週の金曜日に(11月11日、天気は晴れ)、子供を保育園に迎えに行った帰り夕方6時ごろなのですが、 $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^2}=1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+\cdots=\dfrac{\pi^2}{6}$, 平方数の逆数和はいくつに収束するのか?という問題がバーゼル問題です。高校数学で理解できるバーゼル問題の証明を解説します。, 一般に,$\zeta(p)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^p}$ をリーマンのゼータ関数といいます。 $p=1$ のときは発散します。→調和級数1+1/2+1/3…が発散することの証明 2019-03-31. | \begin{eqnarray} Dedekindの切断に関する実数の連続性公理から議論をスタートして,収束の定義によって今まで分かったことを次でまとめておきます. また,$\sin\theta_k\neq 0$ なので,$z$ を $\sin^{2n+1}\theta_k$ で割ることにより, 過去ブログの転載です。 Σ[k=0→∞]1/k!=eというのは有名な事実ですが、これはマクローリン展開の式を用いれば簡単に示すことができます。 知恵袋の質問に、では Σ[k=0→n]1/k! &=& \int_0^{\pi/2}xf_n(x)dx \\ $\zeta(6)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^6}=\dfrac{\pi^6}{945}$ B &=& \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2} \\ 数列が収束する条件があると便利です.極限値は分からなくても,数列がCauchy(コーシー)列であれば,収束することが分かります.今後も使う非常に有用な定理です.今回はCauchy列が収束することを分かりやすく証明します. &=& \dfrac{1}{4}\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2} + \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{(2n-1)^2} \\ 高等学校教諭専修免許状(数学),数学検定1級,統計検定準1級, ディープラーニング G検定 取得. 一児の父. }+\cdots +\frac{x^{n}}{n! [/math], と評価でき([math]C[/math]は定数)、[math]n\to\infty[/math]で[math]E_n\to 0[/math]が分かります。, [math] を参照して下さい。, まずは部分和 $1+\dfrac{1}{2^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}$ を上と下から三角関数ではさみます。, $k=1,\:2,\cdots,n$ に対して $\theta_k=\dfrac{k\pi}{2n+1}$ とおく。 $0\leq \theta_k\leq \dfrac{\pi}{2}$ より, Σ[k=0→n]nPk となります。Σ[k=0→n]nPkを求めることを考えます。, ガンマ関数Γ(x)=∫[0→∞]t^(x-1) e^(-t)dt は階乗の拡張として機能しますが、それはこれを部分積分したときに階乗が現れることから確認できます。順列は階乗の部分積のようなものなので、ガンマ関数で何とか表せないか考えることになります。, ここではガンマ関数の更なる拡張である、不完全ガンマ関数Γ(a, x)=∫[x→∞]t^(a-1) e^(-t)dt を用います。, 部分積分を用いると、Γ(a, x)=∫[x→∞]t^(a-1) e^(-t)dt=[-t^(a-1)e^(-t)](範囲:x→∞)+(a-1)∫[x→∞]t^(a-2) e^(-t)dt=x^(a-1)e^(-x)+(a-1)Γ(a-1, x)という漸化式が導けますので、Γ(a, x)=x^(a-1)e^(-x)+(a-1){x^(a-2)e^(-x)+(a-2){x^(a-3)e^(-x)+(a-3){……}}}と展開することができます。なんか複雑な項がありますが、x=1ならばΓ(a, 1)=e^(-1)+(a-1){e^(-1)+(a-2){e^(-1)+(a-3){……}}}=e^(-1){1+(a-1)+(a-1)(a-2)+(a-1)(a-2)(a-3)+……}となってすっきりします。部分積分を続けていくと(a-a)の係数が出るので、これは閉じた式になります。最終項は(a-1)!ですね。すると、e^(-1)が掛かっていることを除けばこれはΣ[k=0→a-1](a-1)Pk となっていることが分かります。即ち、Γ(a, 1)=e^(-1)Σ[k=0→a-1](a-1)Pk が成り立ちます。, 求めたかったのはΣ[k=0→n]nPkでしたから、n=a-1として、Σ[k=0→n]nPk=eΓ(n+1, 1) と表せます。, 実はWolfram Alphaで出てきた答えを見てから考えたものなのですが、ちゃんと出てきて満足です。, fermiumbay13さんは、はてなブログを使っています。あなたもはてなブログをはじめてみませんか?, Powered by Hatena Blog

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